Nel loro grande lavoro di sistemizzazione dell'analisi, i matematici dell'Ottocento riesaminarono nozioni e teoremi senza più avvalersi di giustificazioni geometriche o imprecise, ma basandosi sul contetto di numero reale e su un livello di rigore fino ad allora mai raggiunto. In particolare, all'inizio del secolo vari matematici sottrassero il concetto di funzione continua a qualsiasi vaga interpretazione metafisica, geometrica o cinematica, ed elaborarono una definizione precisa sul limite su cui costruire poi l'edificio dell'analisi. Tuttavia, a mettere finalmente ogni cosa veramente al suo posto - partendo da una definizione di numero reale e delle sue proprietà, proponendo spiegazioni chiare e inattaccabili di tutti i concetti introdotti, e dimostrando rigorosamente ogni risultato, anche il più semplice e ovvio - fu Karl Weierstrass, il "padre dell'analisi matematica". E proprio a lui si deve il teorema sui massimi e minimi delle funzioni continue, e il merito di aver contribuito in modo fondamentale allo studio moderno dell'ottimizzazione e del calcolo delle variazioni. Il teorema, secondo il quale ogni funzione continua a valori reali definita su un intervallo chiuso e limitato assume il suo massimo e minimo nel dominio di definizione, ha una grande importanza concettuale per gli sviluppi successivi dell'analisi matematica, ma anche una grande importanza pratica nello stabilire basi solide per l'uso dell'ottimizzazione in una miriade di campi applicativi.