In matematica, e più in particolare nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale, il teorema spettrale esprime le condizioni in base alle quali un operatore o una matrice possono essere diagonalizzati, cioè rappresentati come una matrice diagonale rispetto a una base opportuna. Questa nuova rappresentazione permette di semplificare l'analisi dei problemi in cui questi operatori (matrici) sono coinvolti. Dal punto di vista computazionale si apre anche la via all'ideazione di metodi e algoritmi efficienti ed efficaci.
Nel primo Ottocento, Augustin-Louis auchy, pur considerando un caso di dimensione ridotta, evidenziò di fatto le principali proprietà e gli strumenti per dimostrare il teorema spettrale. In particolare, affrontò il caso delle forme quadratiche (un qualunque polinomio omogeneo di secondo grado), così come si presentava ai suoi tempi. Allo stesso modo, il matematico Eugenio Beltrami pose le basi e il metodo per la decomposizione ai valori singolari, in seguito migliorato da altri. Il teorema spettrale ha importanti conseguenze in vari ambiti sia teorici sia applicativi anche per i recenti sviluppi tecnologici (equazioni differenziali, classificazione delle forme quadratiche, calcolo numerico, statistica, elaborazione di segnali e immagini digitali). È risultato poi essenziale, fin dai primi passi, nello sviluppo dei metodi matematici sottostanti la meccanica quantistica. Un percorso che va dalle prime intuizioni della teoria spettrale coinvolgenti masse e oscillazioni fino alla descrizione di sistemi quantistici.